Почему мыльный пузырь радужный
два отражения, одна разность хода — и цвет из ниоткуда
РАЗНОСТЬ ХОДА
Δ = 2nd·cos θ′ + λ/2
ОТРАЖЕНИЕ ГАСНЕТ
2nd·cos θ′ = mλ
0
2nd·cosθ′, нм
0°
угол преломления θ′
0
порядок для λ=550 нм
—
максимум отражения, нм
Цвет справа — честный расчёт: спектр отражения
I(λ) = sin²(2πnd·cosθ′/λ) по 100 длинам волн сворачивается с кривыми чувствительности
глаза (CIE) → XYZ → sRGB. При d → 0 плёнка становится чёрной — так Ньютон и Гук
поняли, что свет ведёт себя как волна.
350 нм
20°
1,33
Режим «клин» (полосы равной толщины)
КАКОЙ ЦВЕТ ВИДИМ
…
Отражённые от двух границ волны складываются:
одни λ усиливаются, другие гаснут.
↻ Поверните телефон горизонтально — так эксперимент крупнее
Методичка · как это работает
Тонкие плёнки
Два отражения, одна разность хода — и цвет из ниоткуда.
Что происходит
Тонкая прозрачная плёнка (мыльный пузырь, бензин на луже) в белом свете переливается радугой, хотя сама бесцветна. Свет отражается сразу от двух границ плёнки, отражённые волны складываются, и для каждого угла и толщины одни длины волн усиливаются, другие гаснут — глаз видит цвет.
Как это работает
Луч частично отражается от верхней границы плёнки, частично уходит внутрь, отражается от нижней границы и выходит наружу. Второй луч проходит лишний путь ≈ 2·n·d внутри плёнки (n — показатель, d — толщина), и именно эта разность хода задаёт, сложатся волны в фазе или в противофазе.
При отражении от оптически более плотной среды (верхняя граница, воздух→плёнка) волна теряет полволны — добавляется λ⁄2. Полная разность хода Δ = 2·n·d·cos θ′ + λ⁄2. Гасится в отражении та волна, для которой 2·n·d·cos θ′ = m·λ; усиливается — сдвинутая на λ⁄2.
Условие зависит от λ, поэтому в белом свете «выживает» свой набор цветов — и он меняется с толщиной и углом. При d → 0 остаётся только скачок λ⁄2: все волны гасятся, плёнка выглядит чёрной. Наклоняя обзор (меняя θ′), сдвигаем цвет — отсюда переливы.
Формулы
Δ = 2·n·d·cos θ′ + λ⁄2
Полная разность хода двух отражённых лучей; слагаемое λ⁄2 — потеря полуволны на верхней границе.
2·n·d·cos θ′ = m·λ
Условие тёмной полосы в отражении (учитывая λ⁄2): для этой λ волны гасят друг друга.
sin θ = n·sin θ′
Преломление на входе задаёт угол θ′ внутри плёнки, а значит и множитель cos θ′.
График
С ростом толщины отражение периодически усиливается и гаснет — отсюда радужные разводы плёнки.
Пример расчёта
Мыльная плёнка (показатель n = 1,33) толщиной d = 350 нм рассматривается в белом свете под углом падения θ = 20° (значения по умолчанию симулятора; диапазоны контролов: d 5…1000 нм, θ 0…60°, n 1,20…1,50). Найдите угол преломления θ′, оптическую разность хода 2·n·d·cos θ′ и определите, какая длина волны гаснет в отражении, а какая усиливается. Учтите потерю λ⁄2 на верхней границе.
Угол преломления из закона Снелла sin θ = n·sin θ′: sin θ′ = sin 20°⁄1,33 = 0,3420⁄1,33 = 0,2572, θ′ = arcsin 0,2572 = 14,9°, cos θ′ = 0,9664.
Полная разность хода двух отражённых лучей Δ = 2·n·d·cos θ′ + λ⁄2 (слагаемое λ⁄2 — скачок фазы при отражении от более плотной среды на верхней границе).
Отражение гаснет там, где 2·n·d·cos θ′ = m·λ, то есть λ = 900 нм⁄m. В видимом диапазоне это m = 2: λ = 900⁄2 = 450 нм (сине-фиолетовый убирается из отражённого света).
Усиливается (максимум отражения) волна, для которой 2·n·d·cos θ′ = (k + ½)·λ, то есть λ = 2·900⁄(2k+1). При k = 1: λ = 1800⁄3 = 600 нм — плёнка ярче всего отражает оранжево-красный.
Ответ: θ′ = 14,9°, оптическая разность хода 2·n·d·cos θ′ = 900 нм. В отражении гаснет λ ≈ 450 нм (сине-фиолетовый), а максимум отражения приходится на λ ≈ 600 нм — поэтому плёнка выглядит оранжевой. Плитка «максимум отражения» показывает 600 нм.
Историческая справка
Кольца в тонком зазоре описали Роберт Гук («Микрография», 1665) и Исаак Ньютон («кольца Ньютона», 1704). То, что при исчезающе малой толщине плёнка становится чёрной, объяснимо только сложением волн — это стало ранним доводом в пользу волновой теории света, развитой затем Юнгом.
На уроке
Медленно тяните слайдер «Толщина d» от 5 нм вверх и следите за образцом цвета: у нуля плёнка чёрная (плитка «2nd·cosθ′» ≈ 0), затем цвета сменяют друг друга по мере роста разности хода.
Меняйте «Угол падения θ» и смотрите, как ползёт «максимум отражения, нм» и цвет справа — так объясняется, почему пузырь переливается при наклоне взгляда.
Включите тумблер «Режим „клин“ (полосы равной толщины)»: толщина растёт слева направо, и каждая цветная полоса — это ещё одна длина волны в разности хода.
Проверь себя
Задача 1. Почему при d → 0 (плёнка тоньше четверти длины волны) она в отражении становится чёрной, хотя ничем не покрашена?
При d → 0 геометрическая разность хода 2·n·d·cos θ′ → 0, и остаётся только скачок фазы λ⁄2 от верхней границы. Тогда два отражённых луча приходят в противофазе для всех λ и гасят друг друга — отражения нет, плёнка чёрная. Это прямое доказательство волновой природы света.
Задача 2. Мыльный пузырь наклонили — угол наблюдения θ вырос. В какую сторону (короче или длиннее) сдвинется отражаемый цвет и почему?
При росте θ угол θ′ тоже растёт, cos θ′ уменьшается, значит оптическая разность хода 2·n·d·cos θ′ становится меньше. Условие максимума сдвигается к более коротким λ — цвет уходит в сине-фиолетовую сторону. Именно поэтому пузырь переливается при изменении угла взгляда.
Задача 3. Плёнка толщиной d = 200 нм наблюдается по нормали (θ = 0), n = 1,33. Какая видимая длина волны погасится в отражении (без учёта λ⁄2 в самой подстановке порядка)?
2·n·d·cos 0° = 2·1,33·200 = 532 нм. Условие погашения 2·n·d = m·λ даёт при m = 1: λ = 532 нм — из отражённого света уходит зелёная составляющая, и плёнка приобретает дополнительный (пурпурный) оттенок.