Резонанс бокала
как звук разбивает стекло — если попасть в ноту
НА РЕЗОНАНСЕ
f = f₀ → A ∝ Q
ДОБРОТНОСТЬ
Q =
f₀Δf
0,0
амплитуда, мкм
0,800
f / f₀
2,5
ширина пика Δf, Гц
цел
состояние бокала
Собственная частота бокала f₀ = 750 Гц. Ободок дышит «эллипсом»:
сжимается по одной оси, растягивается по другой. Попади точно в f₀ на большой
громкости — амплитуда накопится и стекло не выдержит. Чем выше Q — тем выше пик,
но тем уже мишень.
600 Гц
60%
300
Звук (Web Audio)
Звуковые волны
A = 0 мкм · отстройка от резонанса −150 Гц
внизу — резонансная кривая A(f) при текущей громкости · красный пунктир — порог разрушения
↻ Поверните телефон горизонтально — так эксперимент крупнее
Методичка · как это работает
Резонанс бокала
Как звук разбивает бокал — если точно попасть в его ноту.
Что происходит
У бокала есть собственная частота колебаний f₀. Если динамик звучит именно на ней, ободок начинает раскачиваться всё сильнее — амплитуда накапливается с каждым периодом. На достаточной громкости стекло не выдерживает деформации и разлетается. Это резонанс: точное совпадение частоты возбуждения с собственной.
Как это работает
Ободок бокала колеблется модой-«эллипсом»: по одной оси сжимается, по перпендикулярной растягивается. У этой формы есть своя собственная частота f₀ (в симуляторе 750 Гц). Раскачать её сильно можно, только подавая звук той же частоты — толчки приходят «в такт» и складываются.
На резонансе (f = f₀) установившаяся амплитуда пропорциональна добротности: A ∝ Q. Добротность Q = f₀⁄Δf показывает, насколько узок и высок пик отклика: большое Q — очень высокий пик, но и очень узкая «мишень» по частоте. Малейшая отстройка от f₀ — и амплитуда резко падает.
Амплитуда нарастает не мгновенно: энергия накапливается за время тем большее, чем выше Q (потери малы). Когда размах превышает предел прочности стекла, бокал разрушается. Вне резонанса той же громкости уже не хватает — раскачки не происходит.
Формулы
f = f₀ → A ∝ Q
Точно на собственной частоте амплитуда максимальна и растёт с добротностью Q.
Q = f₀⁄Δf
Добротность: чем уже ширина пика Δf, тем выше Q — острее резонанс и уже полоса попадания.
Δf = f₀⁄Q
Ширина резонансного пика по частоте: у высокодобротного бокала «мишень» очень узкая.
График
Отклик резко вырастает у собственной частоты f₀ ≈ 750 Гц; острота пика задаётся добротностью Q.
Пример расчёта
Собственная частота бокала f₀ = 750 Гц, добротность Q = 300, громкость динамика 60 % (значения по умолчанию симулятора; контролы: f 300…1200 Гц, громкость 0…100 %, Q 20…400). В модели установившаяся амплитуда A = громкость · resp(f), на резонансе resp = Q⁄400, а норма амплитуды 1,0 соответствует 45 мкм; порог разрушения — амплитуда 0,75 (33,75 мкм). Найдите амплитуду колебаний ободка при точном попадании в f₀, ширину резонансного пика Δf и определите, разобьётся ли бокал.
На резонансе f = f₀ отстройка нулевая, поэтому resp = Q⁄400 = 300⁄400 = 0,75.
Установившаяся амплитуда (в долях нормы): A = громкость · resp = 0,60 · 0,75 = 0,45.
Переводим в микрометры: A = 0,45 · 45 мкм = 20,25 мкм.
Ширина резонансного пика: Δf = f₀⁄Q = 750⁄300 = 2,5 Гц — «мишень» по частоте очень узкая.
Сравниваем с порогом разрушения 0,75: 0,45 < 0,75, значит на громкости 60 % бокал уцелеет. Чтобы разбить его точно на f₀, нужна громкость не меньше 0,75⁄0,75 = 1,0, то есть 100 %.
Ответ: Амплитуда на резонансе A = 0,45 нормы = 20,25 мкм, ширина пика Δf = 2,5 Гц. При 60 % громкости размах не дотягивает до порога 0,75 (33,75 мкм) — бокал цел; чтобы разбить его на f₀ при Q = 300, нужна громкость 100 %.
Историческая справка
Явление резонанса как совпадения вынуждающей частоты с собственной изучали ещё Галилей и Ньютон, а строгую теорию колебаний развили в XVIII–XIX веках Эйлер и лорд Рэлей («Теория звука», 1877). Разрушение бокала голосом — эффектная демонстрация того, что накопление энергии на резонансе может превзойти прочность материала.
На уроке
Нажмите кнопку «Точно в f₀» и следите за плиткой «амплитуда, мкм» и бегущей точкой на кривой A(f): на резонансе точка взлетает к порогу разрушения.
Тяните слайдер «Q бокала» вверх — пик кривой становится выше, но уже; затем чуть сдвиньте «Частота f» от 750 Гц и заметьте, как быстро падает амплитуда у высокого Q.
Поднимите «Громкость» и точно попадите частотой в f₀, чтобы разбить бокал; кнопкой «Новый бокал» верните целый и повторите на меньшей громкости — раскачки уже не хватит.
Проверь себя
Задача 1. Слайдер «Q бокала» увеличили с 300 до 400. Как изменятся высота резонансного пика и ширина Δf, и почему в бокал становится «труднее попасть»?
Пик A ∝ Q⁄400 вырастет с 0,75 до 1,0 (то есть с 33,8 до 45 мкм при полной громкости), а ширина Δf = f₀⁄Q сузится с 2,5 до 750⁄400 = 1,88 Гц. Пик выше, но «мишень» по частоте у́же — малейшая отстройка от 750 Гц резко срывает раскачку.
Задача 2. Почему один и тот же динамик на 100 % громкости разбивает бокал при f = 750 Гц, но не может при f = 760 Гц, хотя это всего на 10 Гц выше?
На f₀ resp = Q⁄400 = 0,75, и A = 1·0,75 = 0,75 — ровно порог разрушения. При f = 760 Гц отстройка выводит амплитуду далеко под пик: resp падает примерно до 0,09, то есть A ≈ 4 мкм. Раскачки не хватает, потому что ширина пика Δf = 2,5 Гц, а отстройка 10 Гц её многократно превышает.
Задача 3. Почему амплитуда на резонансе нарастает не мгновенно, и как время накопления связано с добротностью Q?
Каждый период динамик добавляет энергии «в такт», а потери малы, поэтому размах копится постепенно (в модели A тянется к целевому значению с постоянной времени тем большей, чем выше Q). Высокая добротность = малые потери = медленное, но всё более высокое накопление; когда размах превысит прочность стекла, бокал разрушается.