↻ Поверните телефон горизонтально — так эксперимент крупнее
Методичка · как это работает
Опыт Эратосфена
Тень от палки и караван верблюдов дают окружность Земли.
Что происходит
В один и тот же полдень в Сиене Солнце стоит в зените — палка тени не даёт, свет достаёт до дна колодца. А севернее, в Александрии, точно такая же палка отбрасывает тень под углом α ≈ 7,2°. Из одного этого угла и расстояния между городами вычисляется вся окружность планеты.
Как это работает
Солнце так далеко, что его лучи приходят на Землю параллельно. Если бы Земля была плоской, тени в обоих городах были бы одинаковы. Раз тени разные — поверхность искривлена, и угол тени α равен разнице широт городов, то есть дуге между ними.
Дальше — простая пропорция: угол α так относится к полному кругу 360°, как расстояние между городами D — ко всей окружности C. Отсюда C = (360° ⁄ α)·D.
Двигая слайдеры «Угол тени α» и «Расстояние D», вы задаёте эти два измерения; окружность, радиус и ошибка от истинного значения пересчитываются на панели сразу.
Формулы
C = (360° ⁄ α) · D
Окружность Земли из угла тени α и расстояния D между городами.
α = φАлекс − φСиена
Угол тени равен разности географических широт двух точек.
R = C ⁄ 2π
Радиус Земли из полученной окружности.
1 стадий ≈ 157,5 м
Античная мера длины; перевод стадиев в километры.
График
C = (360°⁄α)·D. При α ≈ 7,2° и D ≈ 800 км получается C ≈ 40 000 км.
Пример расчёта
Слайдеры на исходных значениях Эратосфена: «Угол тени α» = 7,2°, «Расстояние D» = 5000 стадиев. Найдите окружность Земли (в стадиях и км), радиус и ошибку от истинного значения. 1 стадий ≈ 157,5 м; истинная окружность 40 075 км.
Угол тени — это доля полного круга: 7,2°⁄360° = 1⁄50. Значит вся окружность в 50 раз больше дуги между городами: C = (360°⁄α)·D = 50·5000 = 250 000 стадиев.
Перевод в километры: C = 250 000 · 0,1575 км = 39 375 км.
Ответ: C ≈ 250 000 стадиев ≈ 39 375 км, R ≈ 6267 км, ошибка всего −1,7 % — ровно то, что видно в карточке «Ваш расчёт» и поле «ошибка от истины».
Историческая справка
Эратосфен Киренский, глава Александрийской библиотеки, поставил этот расчёт около 240 года до н. э. Он получил около 250 000 стадиев — при спорной длине стадия это примерно 39–46 тыс. км, поразительно близко к истинным 40 075 км. Первое в истории измерение размеров планеты — с погрешностью лишь в проценты.
На уроке
Оставьте слайдеры на исходных значениях («Угол тени α» 7,2°, «Расстояние D» 5000 ст.) и нажмите «Пуск» — сравните карточку «Ваш расчёт» с современными 40 075 км.
Включите тумблер «Лучи Солнца» — покажите, что лучи строго параллельны (Солнце «бесконечно» далеко), именно поэтому метод работает.
Меняйте слайдер «Угол тени α» и следите за полем «ошибка от истины»: маленькая ошибка в измерении угла заметно сдвигает окружность — так ученики видят цену точности.
Проверь себя
Задача 1. Почему в методе Эратосфена важно, что лучи Солнца строго параллельны (тумблер «Лучи Солнца»)?
Только для параллельных лучей угол тени в Александрии в точности равен дуге (разности широт) между городами: α = φ_Алекс − φ_Сиена. Солнце «бесконечно» далеко — это и даёт параллельность.
Задача 2. Слайдер «Угол тени α» сдвинули с 7,2° до 10° (D = 5000 ст.). Как изменится окружность C?
C = (360⁄10)·5000 = 180 000 стадиев ≈ 28 350 км — меньше: α в знаменателе, больше угол → меньше окружность. Ошибка в измерении угла сильно бьёт по ответу.
Задача 3. Какой угол тени α (при D = 5000 ст.) дал бы точное современное значение 40 075 км?
Из C·0,1575 = 40 075 при C = (360⁄α)·5000 получаем α = 360·5000·0,1575⁄40 075 ≈ 7,07° — чуть меньше исторических 7,2°, поэтому расчёт Эратосфена слегка занижает окружность.