↻ Поверните телефон горизонтально — так эксперимент крупнее
Методичка · как это работает
Броуновское движение
Дрожащая пылинка под ударами невидимых молекул — прямая улика существования атомов.
Что происходит
Крупная золотая пылинка висит в жидкости, окружённая множеством быстрых молекул. С каждой стороны в неё непрерывно бьют тысячи частиц. Будь удары идеально уравновешены, пылинка стояла бы — но их число случайно колеблется, и перевес с одной стороны дёргает её в непредсказуемом направлении.
Как это работает
Молекулы невидимы и очень легки, зато их много и они быстры. Мгновенный перевес ударов справа или слева толкает тяжёлую пылинку короткими случайными рывками — получается ломаный, никогда не повторяющийся путь. Сама пылинка при этом в десятки раз тяжелее отдельной молекулы (в модели M/m ≈ 68).
Это случайное блуждание: смещения складываются не как путь, а как корень из числа шагов. Поэтому средний квадрат смещения растёт линейно со временем — ⟨r²⟩ = 4D·t (для плоскости), а не с его квадратом. Пылинка удаляется от старта медленно, зато неотвратимо.
Эйнштейн в 1905-м связал коэффициент диффузии D с температурой и вязкостью: D = kT ⁄ (6π·η·a). Грей жидкость — молекулы бьют энергичнее, дрожание усиливается; бери пылинку крупнее — удары усредняются, и она почти замирает. Именно эта количественная связь позволила «взвесить» атомы.
Формулы
⟨r²⟩ = 4D·t
Средний квадрат смещения растёт линейно со временем (на плоскости; в объёме коэффициент 6).
D = k·T ⁄ (6π·η·a)
Соотношение Эйнштейна–Стокса: диффузия растёт с температурой T и падает с вязкостью η и радиусом частицы a.
График
⟨r²⟩ = 4·D·t — средний квадрат смещения растёт линейно; выше температура — круче наклон.
Пример расчёта
Пылинка радиусом a = 1 мкм (1·10⁻⁶ м) взвешена в воде (вязкость η = 1·10⁻³ Па·с) при температуре T = 300 K. Найдите коэффициент диффузии D по формуле Эйнштейна–Стокса и средний сдвиг √⟨r²⟩ за время t = 1 с на плоскости. Постоянная Больцмана kB = 1,38·10⁻²³ Дж⁄K.
Средний квадрат смещения на плоскости: ⟨r²⟩ = 4·D·t = 4 · 2,20·10⁻¹³ · 1 = 8,79·10⁻¹³ м².
Корень: √⟨r²⟩ = √(8,79·10⁻¹³) ≈ 9,4·10⁻⁷ м = 0,94 мкм.
Ответ: D ≈ 2,20·10⁻¹³ м²⁄с, а за 1 секунду пылинка уходит от старта в среднем на √⟨r²⟩ ≈ 0,94 мкм — меньше собственного диаметра. Смещение крошечное, зато неотвратимое.
Историческая справка
Ботаник Роберт Броун в 1827 году заметил вечное дрожание пыльцы в воде. Объяснил его Альберт Эйнштейн (1905), а Жан Перрен экспериментально подтвердил формулу и измерил число Авогадро — это стало решающим доводом в пользу реальности атомов (Нобелевская премия 1926).
На уроке
Двигайте ползунок «Температура» вверх-вниз и следите за плитками «ударов / с» и «v молекул»: горячее — резче дрожание, √⟨r²⟩ растёт быстрее.
Увеличивайте ползунок «Пылинка»: чем крупнее и тяжелее частица (растёт M/m в подписи внизу), тем слабее рывки.
Нажмите «Сброс траектории», отметьте кружок старта и по «следу» проследите, как путь пылинки удаляется от него не по прямой, а зигзагом.
Проверь себя
Задача 1. Диффузия идёт по закону ⟨r²⟩ = 4D·t. Во сколько раз дальше в среднем уйдёт пылинка за 4 секунды по сравнению с 1 секундой?
√⟨r²⟩ ∝ √t, поэтому при увеличении времени в 4 раза средний сдвиг вырастет лишь в √4 = 2 раза (с ≈ 0,94 мкм до ≈ 1,88 мкм). Это случайное блуждание: путь копится как корень из времени, а не линейно.
Задача 2. Ползунок «Пылинка» увеличили так, что радиус a вырос вдвое. Как изменится коэффициент диффузии D и заметность дрожания?
В D = kB·T ⁄ (6π·η·a) радиус в знаменателе, значит при a → 2a коэффициент D уменьшится вдвое. Крупная частица усредняет удары со всех сторон и почти замирает — дрожание слабеет.
Задача 3. Ползунок «Температура» подняли с 300 K до 1200 K. Во сколько раз изменится D (при том же радиусе и вязкости)?
D прямо пропорционально T, поэтому рост температуры в 1200 ⁄ 300 = 4 раза увеличит D тоже в 4 раза. Горячее — молекулы бьют энергичнее, диффузия ускоряется (на практике ещё падает вязкость η, усиливая эффект).